Первый тренер: Василий Александрович Савич

Воспитанник футбольной школы: ДЮСШ «Белкард»

Дударь родился в Гродно и является воспитанником ДЮСШ «Белкард» и минского РГУОР. В 2008 году перешёл в минское «Динамо» и выступал за дубль минчан на протяжении трёх лет. В конце сезона 2010 года получил травму, после которой восстанавливался более полугода. После восстановления в 2011 году вернулся в родной «Белкард», а в 2012 году основным вратарем команды, которая выступала тогда в третьем по силе дивизионе страны. В сезоне 2013 перешёл в светлогорский «Химика», выступающий рангом выше, а в марте 2014 года стал игроком брестского «Динамо». Основным вратарём команды Высшей Лиги Дударь стал в 2015 году, после того, как команду покинул основной голкипер динамовцев Валерий Фомичёв. В начале 2016 года перешёл в «Гранит-Микашевичи», однако из-за финансовых проблем в летнее тренсферное окно покинул клуб и перешёл в «Слуцк».

В декабре 2017 года подписал контракт с «Гомелем», за который и выступал до перехода в наш клуб. По итогам сезона 2018 года был признан болельщиками гомельского клуба лучшим игроком команды. Дударь набрал 32% голосов, опередив Антона Шрамченко на 4%.

На момент перехода в «Неман» Дмитрий Дударь в первом дивизионе Беларуси провёл 88 матчей, в которых пропустил 115 мячей и заработал 5 предупреждений. В 26 матчах оставил свои ворота в неприкосновенности. 

В 2020 году Дмитрий сыграл за жёлто-зелёных 20 матчей - 19 матчей чемпионата и 1 встреча в рамках кубка страны. Во всех выходил в стартовом составе и провёл суммарно на поле 1759 минут, что составляет 61,08% от сыгранного командой времени. В 10 матчах Дударь остаил свои ворота в неприкосновенности и установил новый клубный рекорд непробиваемости. Вратарь жёлто-зелёных не пропускал с 21 мая по 8 августа на протяжении 680 минут. 

В январе 2021 года продлил контракт до конца сезона.