Бабичев является воспитанником поставской академии ПМЦ, основателем которой был его отец Анатолий Бабичев.

С 2012 по август 2014 года выступал в дубле казанского «Рубина», а в конце сезона 2014 года сыграл пару матчей за клуб итальянской Серии D «Крас» из небольшого поселения Репин. В 2015 году вернулся на родину и пополнил состав перволиговой «Оршы», а в декабре 2016 подписал контракт с «Витебском», в составе которого и дебютировал на позиции опорного полузащитника в Высшей Лиге 2 апреля 2016 года в матче против «Минска» (0:1). В сезоне 2018 года выступал за жодинский клуб «Торпедо-БелАЗ». За три сезона в сильнейшем дивизионе страны провёл 69 матчей и забил 3 мяча.

В феврале 2019 года перешёл в гродненский «Неман», с которым заключил контракт до конца сезона. 

Первый официальный матч за гродненский клуб Бабичев провёл 29 марта в Гомеле (главный тренер — Игорь Ковалевич). В матче 1-го тура гродненцы на выезде переиграли «Гомель» со счётом 3:2. Бабичев вышел в стартовом составе, однако в перерыве встречи был заменён. Единственный мяч за жёлто-зелёных забил 25 мая в Бресте, где гродненцы уступили местному «Динамо» со счётом 1:6.

Всего в сезоне 2019 года Бабичев провёл за наш клуб 15 официальных матчей (923 минуты или 33,81% от сыгранного за это время командой времени), в которых забил один мяч и получил 1 предупреждение, а также 9 матчей первенства дублирующих составов.