Первый тренер: Александр Евгеньевич Дубицкий

Первая футбольная школа: ДЮСШ «Слуцк»

Никита родился в Слуцке и является воспитанником местного одноименного клуба.

В 2015 году Былинкин начал играть за дубль случчан, а свой первый матч в составе главной команды провёл 9 июля 2016 года (главный тренер – Юрий Крот) в 1/16 Кубка Беларуси против светлогорского «Химика» (4:0), выйдя на замену на 81-й минуте.

Несмотря на кубковый дебют, в Высшей лиге Никита не сыграл и в феврале 2019-го года отправился в аренду в «Смолевичи», которые выступали во втором по силе дивизионе страны. Провёл в Первой лиге 4 встречи, в которых отметился одним забитым мячом.

Вторую половину 2019-го года Былинкин также провел в аренде, но дивизоном ниже. Защитник сыграл за «Викторию» из Марьиной Горки 13 матчей и забил 2 гола.

В марте 2020 года защитник перешёл в дзержинский «Арсенал», который тогда дебютировал в Первой лиге. За дзержинцев провел 15 матчей, но результативными действиями не отметился.

В начале 2021 года вернулся в «Слуцк», в составе которого дебютировал в Высшей лиге. Это произошло 30 мая 2021 года (главный тренер – Александр Бразевич) в матче 11-го тура против «Ислочи» (2:1). Былинкин появился на поле на 87-й минуте.

За «Слуцк» защитник выступал вплоть до конца минувшего сезона, приняв участие в 102 официальных матчах, в которых забил один мяч и заработал 3 ассистентских балла.

Статистика БВЛ-2024: 26 матчей (23 из них полных), 2258 минут, 0+1, 7 предупреждений. В матче с «Нафтаном» отправил мяч в свои ворота, но к тому моменту «Слуцк» выигрывал со счётом 4:0 и это никак не повлияло на итоговый результат матча. 

В январе 2025 года подписал годовой контракт с гродненским «Неманом».