Первый тренер: Валерий Семёнович Чаплыгин и Николай Степанович Лукьянчиков.

Воспитанник футбольной школы: ДЮСШ «Днепр».

За свою футбольную карьеру воспитанник могилёвского футбола в Беларуси защищал цвета только одного клуба. В новополоцком «Нафтане» Дмитрий Верховцов выступал с 2004 года по 2011 год. За восемь сезонов защитник сыграл в чемпионате Беларуси 164 матча, в которых отличился 16 раз. С 2009 года начал активно искать варианты продолжения карьеры за рубежом. Дмитрий проходил просмотры в «Селтике», киевском «Динамо», «Вентспилсе», «Эвертоне», а также в «Кубани», однако первым его зарубежным клубом в декабре 2011 года стали самарские «Крылья Советов».

В национальной сборной Беларуси дебютировал 2 июня 2008 года в товарищеском матче со сборной Финляндии в Турку (1:1). Всего за сборную страны защитник сыграл 44 матча, забил 3 мяча.

Участник молодёжного чемпионата Европы 2009, который проходил в Швеции.

Дебютировал в составе «Немана» 15 июня 2017 года (главный тренер – Игорь Ковалевич) в домашнем матче 12-го тура чемпионата против столичного «Минска» (победа 3:1). Вышел на поле на 84-й минуте вместо Евгения Савостьянова. Из-за травмы пропустил почти весь сезон, тем не менее успел отличиться за жёлто-зелёных, забив третий мяч в ворота солигорского «Шахтёра» (победа 3:1) в матче последнего тура чемпионата. Всего за гродненцев на поле выходил в 9 календарных матчах чемпионата Беларуси.

2009 – обладатель Кубка Беларуси («Нафтан», Новополоцк)