Первый тренер: Владимир Мефодьевич Садовский

Воспитанник футбольной школы: «Дордой» (Бишкек)

Гулжигит родился в городе Токтогуле, а футболом стал заниматься в школе клуба «Дордой» из Бишкека, за которую выступал с 2011 по 2017 год. В феврале 2017 года полузащитник перешёл в турецкий «Антальяспор» и выступал за молодёжный состав клуба. В 2018 году Алыкулов вернулся на родину, где в первой половине чемпионата выступал за клуб «Кара-Балта» из одноимённого города, а 20 июля перешёл в «Алгу» из Бишкека. В Топ-Лиге Кыргызстана в сезоне 2018 года Алыкулов сыграл 28 матчей, в которых забил 8 мячей и отдал 9 голевых передач.

Алыкулов присоединился к команде в зимнее межсезонье перед турниром в Жодино и провёл перед подписанием контракта за жёлто-зелёных 6 матчей, в которых забил два мяча и сделал голевую передачу. 15 февраля полузащитник молодёжной сборной Кыргызстана подписал с нашим клубом контракт сроком на три года.

В официальном матче за наш клуб Гулжигит дебютировал 29 марта 2019 года в 1-м туре чемпионата против «Гомеля» (3:2), заменив на 63-й минуте Глеба Рассадкина. Свой первый мяч за наш клуб Алыкулов забил менее чем через три недели, 19 апреля в поединке 4-го тура, на 73-й минуте принеся «Неману» минимальную домашнюю викторию над «Витебском».

Всего в составе жёлто-зелёных полузащитник провёл в сезоне 2019 года 24 официальных матча (23 в чемпионате и 1 в кубке Беларуси), в которых записал на свой счет по системе «гол плюс пас» 7 баллов - 4+3.

Добавим, что по итогам минувшего сезона Гулжигит стал одним из лучших бомбардиров команды, а также был признан лучшим футболистом года в составе жёлто-зелёных, получил премию «Суперфутболист года-2019» по версии самого авторитетного СМИ Кыргызстана «Супер Инфо», а также был назван лучшим игроком 2019-го года по версии Федерации футбола Кыргызстана.

Отметим, что именно будучи игроком «Немана» Алыкулов получил вызов в национальную сборную Кыргызстана, за которую дебютировал 11 июля в товарищеском поединке против Палестины (2:2), выйдя на замену на 81-й минуте. В официальном матче за свою страну Гулжигит впервые сыграл 10 октября 2019 кода в матче квалификации ЧМ-2022 с Мьянмой, проведя на поле 69 минут и отметившись голом за Белых Соколов.

27 января 2020 года ушёл из гродненского клуба и подписал контракт с казахстанским «Кайратом» из Алматы.